Question

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1），
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（3）是否存在实数m∈[0，

1

2

]，使曲线y=f′（x）与曲线y=ln（x+

1

6

）及直线x=m所围图形的面积S为1+

2

3

ln2-ln3，若存在，求出一个m的值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,定积分在求面积中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=-ln（x+1），当f′（x）＞0时，解得：-1＜x＜0，当f′（x）＜0时，解得：x＞0，从而f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在[-

1

2

，0]上递增，在[0，1]上递减，又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，从而t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）时，方程f（x）=t有两个解；
（3）存在m=0满足条件，理由：y=f′（x）与y=ln（x+

1

6

）交点为（

1

2

，ln

2

3

），则S=

∫	ln 2 3 -ln6

（e^y-

1

6

）dy+

∫

0 ln 2 3

（e^-y-1）dy=1+

2

3

ln2-ln3，问题解决．

解答： 解：（1）f′（x）=-ln（x+1），
当f′（x）＞0时，解得：-1＜x＜0，
当f′（x）＜0时，解得：x＞0，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减；
（2）由（1）得：
f（x）在[-

1

2

，0]上递增，在[0，1]上递减，
又f（0）=0，f（1）=1-ln4，f（-

1

2

）=-

1

2

+

1

2

ln2，
∴f（1）-f（-

1

2

）＜0，
∴t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）时，方程f（x）=t有两个解；
（3）存在m=0满足条件，
理由：y=f′（x）与y=ln（x+

1

6

）交点为（

1

2

，ln

2

3

），
y=f′（x）与y轴交点为（0，0），
y=ln（x+

1

6

）与y轴交点为（0，-ln6），
则S=

∫	ln 2 3 -ln6

（e^y-

1

6

）dy+

∫

0 ln 2 3

（e^-y-1）dy
=1+

2

3

ln2-ln3，
∴存在m=0满足条件．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，求参数的范围问题，定积分在面积中的应用问题，是一道综合题．