Question

(本题满分13分)

已知各项均为正数的等差数列，其前n项和S满足10S = a  + 5a + 6；等比数列满足b = a，b = a，b = a；数列满足．(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和T．

Answer 1

(Ⅰ) b_n＝2×6^n－1 (Ⅱ)  T_n＝

解析:

(1)∵10S_n＝a_n²＋5a_n＋6，……①   ∴10a₁＝a₁²＋5a₁＋6．解之，得a₁＝2，或a₁＝3．2分

又10S_n－1＝a_n－1²＋5a_n－1＋6（n≥2），…② 由①－②，得 10a_n＝(a_n²－a_n－1²)＋6(a_n－a_n－1)，

即(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－5)＝0．∵a_n＋a_n－1＞0，∴a_n－a_n－1＝5（n≥2）． ……5分

当a₁＝3时，a₃＝13，a₁₅＝73．a₁， a₃，a₁₅不成等比数列，∴a₁≠3．当a₁＝2时，a₃＝12，a₁₅＝72，有 a₃²＝a₁a₁₅．∴数列{b_n}是以6为公比，2为首项的等比数列，b_n＝2×6^n－1．…8分

（2）由（1）知，a_n＝5n－3 ，c_n＝2（5n－3）6^n－1．

∴T_n＝2[2＋7×6＋12×6²＋…＋(5n－3)6^n－1]，

6 T_n＝2[2×6＋7×6²＋12×6³＋…＋（5n－3）6ⁿ]，

∴－5 T_n＝2[5×6＋5×6²＋…＋5×6^n－1] ＋4－2(5n－3)6ⁿ

＝＋4－2(5n－3)6ⁿ＝(8－10n)6ⁿ－8．…12分∴T_n＝．13分