Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知A=$\frac{π}{4}$，cosB-cos2B=0．
（1）求C的大小；
（2）若a²+c²=b-ac+2，求c及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角公式求得cosB的值，可得B的值，从而求得C的值．
（2）由余弦定理可得得b²=a²+c² +ac，再结合a²+c²=b-ac+2，求得b的值，由正弦定理可求c，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cosB-cos2B=cosB-2cos²B+1=0，
∴cosB=1或cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴B=0（舍去），或B=$\frac{2π}{3}$．
由B=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{4}$，可得C=$\frac{π}{12}$．
（2）∵由余弦定理可得b²=a²+c² -2ac•cosB=a²+c² +ac．
再由a²+c²=b-ac+2，可得b²=b+2，
∴解得 b=2，或b=-1（舍去）．
∴由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2×sin\frac{π}{12}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{2×\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×$$\frac{2\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2\sqrt{6}-3\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式以及特殊角的三角函数值，二倍角公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．