Question

（2011•广安二模）给出如下命题：
①函数g（x）=

x+2，x≤-1 0，-1＜x＜1 -x+2，x≥1

为偶函数；②函数f（x）=3sin（2x-

π

3

）的图象关于点（

2

3

π，0）对称；
③若m

a

=m

b

（m∈R），则有

a

=

b

④由y=3Sin2x的图象向右平移

π

6

个单位长度可以得到图象f（x）=3sin（2x-

π

3

）．
其中正确命题的序号为

（1）（2）（4）

（将你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：对于①g（x）判断时，要注意从三种情况判断，即从1°当-1≤x≤1时2°当x＜-1时3°当x＞1时判断．
对于②，将x=

2

3

π代入到函数f（x）得到f（

2

3

π）=0，进而可知它是对称中心，②正确；
对于③，若m=0不成立；
对于④，根据左加右减的原则进行平移可知将y=3sin2x的图象左平移

π

6

得到得图象是函数
f（x），故④正确．

解答：解：对于①又∵1°当-1≤x≤1时，-1≤-x≤1，
∴g（-x）=0．
又g（x）=0，∴g（-x）=g（x）．
2°当x＜-1时，-x＞1，
∴g（-x）=-（-x）+2=x+2．
又∵g（x）=x+2，∴g（-x）=g（x）．
3°当x＞1时，-x＜-1，
∴g（-x）=（-x）+2=-x+2．
又∵g（x）=-x+2，∴g（-x）=g（x）．
综上，对任意x∈R都有g（-x）=g（x）．
∴g（x）为偶函数．正确；

2

3

π
②将x=

2

3

π代入到函数f（x）中得到f（

2

3

π）=3sin（2×

2

3

π-

π

3

）=0
函数f（x）=3sin（2x-

π

3

）的图象关于点（

2

3

π，0）对称，故②正确；
③若m=0不成立，故错；
④由y=3Sin2x的图象向右平移

π

6

个单位长度可以得到图象f（x）=3sin[2（x-

π

6

）-

π

3

]．即f（x）=3sin（2x-

π

3

）．
故正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查了正弦函数的对称性、单调性，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题．考查正弦函数的基本性质--对称性、单调性的应用和三角函数的平移，三角函数的平移的原则是左加右减，上加下减．还考查函数奇偶性的判断，要注意分段函数的判断，分几段就从几个方面判断．