Question

（2012•天津模拟）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分．现从盒内任取3个球
（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；
（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；

解答：解：（Ⅰ）取出的3个球中至少有一个红球的概率：
P=1-

C 3 7

C 3 9

=

7

12

          （3分）
（Ⅱ）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，
则 P(B+C)=P(B)+P(C)=

C 1 2 C 2 3

C 3 9

+

C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

5

42

．…（6分）
（Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3．…（7分）
P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 6

C 3 9

=

45

84

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

3

14

，
P(ξ=3)=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

．…（11分）
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	5 21	45 84	3 14	1 84

ξ的数学期望Eξ=0×

5

21

+1×

45

84

+2×

3

14

+3×

1

84

=1（13分）；

点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，计算的时候要仔细，是一道基础题；