Question

1．已知平面内O、A、B、C四点，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R）
（1）若x+y=1，求证A、B、C三点共线；
（2）若A、B、C三点共线，则实数x、y应满足怎样的条件？

Answer 1

分析 （1）由题意可得y=1-x，可得$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$，由向量运算可得$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BA}$共线，可得A、B、C三点共线；
（2）由（1）的证明过程，逆向推理可得．

解答 解：（1）∵x+y=1，∴y=1-x，
又∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$
=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BA}$共线，
∴A、B、C三点共线；
（2）若A、B、C三点共线，则$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{BA}$共线，
∴$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{BA}$，∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=x（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+（1-x）$\overrightarrow{OB}$
∴y=1-x，即x+y=1，
∴实数x、y应满足的条件为x+y=1．

点评 本题考查平面向量的共线与三点共线，属中档题．