Question

17．已知f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x²+bx，若y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值．

Answer 1

分析 根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的导函数值相等，即切点处的斜率相等，再由切点重合，故可求a、b的值．

解答 解：f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，
即有在x=1处的切线的斜率为k₁=2a，
g（x）=x²+bx，则g′（x）=2x+b，
即有在x=1处的切线的斜率为k₂=2+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=2+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，
代入①式可得：a=b=2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，解题的关键是正确求出导函数．