Question

6．已知点P是曲线y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3x（x∈R）上的一个动点，则以点P为切点，且切线斜率取最小值时的切线方程为3x-3y+2=0．

Answer 1

分析 设出切线的斜率k，得到k等于f′（x），根据二次函数求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切点坐标，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．

解答 解：设切线的斜率为k，
y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3x的导数为y′=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，
则k=f′（x），当x=1时，k_min=1．
把a=1代入到f（x）中得：f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3x，
所以f（1）=$\frac{2}{3}$-2+3=$\frac{5}{3}$，即切点P坐标为（1，$\frac{5}{3}$），
∴所求切线的方程为y-$\frac{5}{3}$=x-1，即3x-3y+2=0．
故答案为：3x-3y+2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查二次函数的最值求法，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．