Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3$\sqrt{2}$，sinB=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，B-A=$\frac{π}{2}$．
（I）求a的值；
（Ⅱ）求cosC的值．

Answer 1

分析 （I）由B-A=$\frac{π}{2}$，可得B为钝角，cosB=-$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$，sinA=$sin（B-\frac{π}{2}）$=-cosB．再利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即可得出；
（II）由$sinA=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且A为锐角，可得cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．利用sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB即可得出．

解答 解：（I）∵B-A=$\frac{π}{2}$，∴B为钝角，
∴cosB=-$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinA=$sin（B-\frac{π}{2}）$=-cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴$a=\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=3．
（II）∵$sinA=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且A为锐角，
∴cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=-$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$
=$\frac{1}{3}$．
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．