Question

13．对于函数f（x）定义域D内的值x₀，若对于任意的x∈D，恒有f（x）≥f（x₀）（或f（x）≤f（x₀）成立，则称x₀是函数f（x）的极值点．若函数f（x）=2sin$\frac{πx}{m}$（m＞0）在区间（$\frac{1}{2}$，1）内恰有一个极值点，则m的取值范围为[$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$]∪[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）∪（1，2）．

Answer 1

分析 根据题意得出即$\frac{π{x}_{0}}{m}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，$\frac{1}{2}＜$$\frac{（2kπ-1）m}{2}$＜1，转化为（2k-1）m=0在（1，2）上有唯一解，列举法求解：（2k-1）m：m，3m，5m，7m，9m，…得出相应的不等式组$①\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{3m≥2}\end{array}\right.$；$②\left\{\begin{array}{l}{1＜3m＜2}\\{m≤1}\\{5m≥2}\end{array}\right.$；③$\left\{\begin{array}{l}{1＜5m＜2}\\{3m≤1}\\{7m≥2}\end{array}\right.$…，分别求解即可．

解答 解：∵根据题意得出x₀使函数f（x）取得最大值，或最小值，
∴2sin$\frac{π{x}_{0}}{m}$=±2，
即$\frac{π{x}_{0}}{m}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，
∴x₀=$\frac{2k+1}{2}m$，k∈z，
∴列举法求解：；（2k-1）m：m，3m，5m，7m，9m，…
判断得出：
$①\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{3m≥2}\end{array}\right.$解得；1＜m＜2，
$②\left\{\begin{array}{l}{1＜3m＜2}\\{m≤1}\\{5m≥2}\end{array}\right.$解得；$\frac{2}{5}$≤m＜$\frac{2}{3}$，
③$\left\{\begin{array}{l}{1＜5m＜2}\\{3m≤1}\\{7m≥2}\end{array}\right.$解得：$\frac{2}{7}$$≤m≤\frac{1}{3}$
依此类推得出后面的都为空集
故答案为：[$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$]∪[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）∪（1，2）

点评 本题考查了函数的零点，三角函数性质，等价转化为不等式组求解，注意分类，列举法求解，思路较简单，关键是有耐心．