Question

2．利用等比数列前n项和公式证明aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ=$\frac{{a}^{n+1}{-b}^{n+1}}{a-b}$，其中n∈N^*，a，b是不为0的常数，且a≠b．

Answer 1

分析 首先判断数列：aⁿ，a^n-1b，a^n-2b²，…，bⁿ为首项为aⁿ，公比为$\frac{b}{a}$≠1，项数为n+1的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到．

解答 证明：由于a，b是不为0的常数，且a≠b，
则数列：aⁿ，a^n-1b，a^n-2b²，…，bⁿ为首项为aⁿ，公比为$\frac{b}{a}$≠1，项数为n+1的等比数列，
即有aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ=$\frac{{a}^{n}（1-\frac{{b}^{n+1}}{{a}^{n+1}}）}{1-\frac{b}{a}}$=$\frac{{a}^{n+1}{-b}^{n+1}}{a-b}$．

点评 本题考查等比数列的求和公式，注意公比是否为1，以及数列的项数，考查运算能力，属于基础题和易错题．