Question

3．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．
（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$的概率；
（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于$\sqrt{3}$的概率．

Answer 1

分析 （1）因为图形为正六边形，利用$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{OD}$在$\overrightarrow{OE}$的投影相等为$\frac{1}{2}$，从而得到满足$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$的边有两条，由几何概型可得；
（2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距离一定是大于等于$\sqrt{3}$．由古典概型公式解答．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{OD}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影为$|\overrightarrow{OD}|cos＜\overrightarrow{OD，}\overrightarrow{OE}＞$=|$\overrightarrow{OF}|cos＜\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{OE}＞=\frac{1}{2}$，
∴P在线段FE（除点F）和线段ED（除点D）上运动时，
$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OE}$上的投影大于$\frac{1}{2}$的概率P=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$．                        …（6分）
（2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距
离一定是大于等于$\sqrt{3}$．六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）
∴P（x≥$\sqrt{3}$）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$              …（12分）

点评 本题考查了几何概型和古典概型的公式的运用，关键是明确满足条件的事件，利用公式解答．