Question

【题目】已知椭圆，椭圆经过椭圆C1的左焦点F 和上下顶点A，B.设斜率为k的直线l与椭圆C2相切，且与椭圆C1交于P，Q两点.

（1）求椭圆C2的方程；

（2）①若，求k的值；

②求PQ弦长最大时k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）分别求出C1的左焦点与上下顶点的坐标，可得椭圆C2的的值，可得椭圆C2的方程；

（2）①设直线l的方程为与椭圆C2联立，由直线与椭圆相切，可得，

可得的关系，同时直线l与椭圆C1的方程联立，，，由韦达定理结合，即，代入可得k的值；

②由①知，可得关于的函数，化简利用基本不等式可得PQ弦长最大时k的值.

解：（1）由题意可知，椭圆C1的左焦点，

上下顶点，，

所以椭圆C2的左顶点为，上下顶点，，

所以，，

所以椭圆C2的方程为.

（2）设直线l的方程为与椭圆C2：方程联立，消去y得，

，

因为直线与椭圆相切，所以，

整理得，，

直线l与椭圆C1的方程联立得，，

其中.

设，，

则.

①因为，所以，

即

，

所以.

②由①知

，

设，则.

所以当时，PQ的长最大，最大值为.