Question

已知数列{b_n}满足b₁=

3

4

，a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1 -a 2 n

．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；　　　
（Ⅱ）求数列{ b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1 -a 2 n

，可得b_n+1=

1

2-bn

，代入计算可求b₂，b₃，b₄；　　　
（Ⅱ）证明数列{

1

bn-1

}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，即可求数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1 -a 2 n

，
∴b_n+1=

1

2-bn

，
∵b₁=

3

4

，a₁=

1

4

，
∴b₂=

4

5

，b₃=

5

6

，b₄=

6

7

；　　　
（Ⅱ）∵b_n+1=

1

2-bn

，
∴b_n+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=-1+

1

bn-1

，
∴数列{

1

bn-1

}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，
∴

1

bn-1

=-4-（n-1）=-n-3，
∴b_n=1-

1

n+3

=

n+2

n+3

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项，证明数列{

1

bn-1

}是以-4为首项，-1为公差的等差数列是关键．