Question

（理）在数列{a_n}中，a₁=6，且对任意大于1的正整数n，点（

an

，

an-1

）在直线x-y=

6

上，则数列{

a n

n3(n+1)

}的前n项和S_n=

6n

n+1

．

Answer 1

分析：根据一个点在一条直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理成一个新等差数列，看出首项和公差，写出新数列的通项公式，求出原数列的通项公式，代入数列的前n项和公式，求出即可．

解答：解：∵点（

an

，

an-1

）在直线x-y=

6

上，
则

an

-

an-1

=

6

，
又

a 1

=

6

，
∴{

an

}是以

6

为首项，

6

为公差的等差数列，
∴

an

=

6

+(n-1)×

6

=

6

n，
即a_n=6n²，
则

a n

n3(n+1)

=

6

n(n+1)

=6(

1

n

-

1

n+1

)
所以Sn=6[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=6(1-

1

n+1

)=

6n

n+1

故答案为：

6n

n+1

点评：本题考查等差数列，考查等差数列的性质，考查等差数列的通项，是一个简单的综合题目，可以单独作为选择或填空出现．