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在数列{an}中,如果对任意的n∈N*,都有
an+2
an+1
-
an+1
an
(λ为常数),则称数列{an}为比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题,其中所有真命题的序号是
①④
①④

①若数列{Fn}满足F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3),则该数列不是比等差数列;
②若数列{an}满足an=(n-1)•2n-1,则数列{an}是比等差数列,且比公差λ=2;
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件;
(文)④数列{an}满足:an+1=an2+2an,a1=2,则此数列的通项为an=32n-1-1,且{an}不是比等差数列;
(理)④数列{an}满足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*)
,则此数列的通项为an=
n•3n
3n-1
,且{an}不是比等差数列.
分析:根据比等差数列的定义
an+2
an+1
-
an+1
an
(λ为常数),逐一判断①~④中的四个数列是否是比等差数列,即可得到答案.
解答:解:数列{Fn}满足F1=1,F2=1,F3=2,F4=3,F5=5,
F3
F2
-
F2
F1
=1,
F4
F3
-
F3
F2
=-
1
2
≠1,
则该数列不是比等差数列,
故①正确;
若数列{an}满足an=(n-1)•2n-1,
an+2
an+1
-
an+1
an
=
(n+1)•2n+1
n•2n
-
n•2n
(n-1)•2n-1
=
-2
(n-1)•n
不为定值,
即数列{an}不是比等差数列,
故②错误;
③当等差数列为常数列0,0,0,0,…,0时,不能成为比等差数列,
故③错误;
(文)④∵数列{an}满足:an+1=an2+2an
a1=2=321-1-1,
∴a2=4+4=8=322-1-1
a3=64+16=80=3 23-1-1.
由此猜想an=32n-1-1
用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=2=321-1-1,成立.
②假设当n=k时成立,即ak=32k-1-1
则ak+1=(32k-1-12+2(32k-1-1
=32k-2×3 2k-1+1-2×32k-1-2
=32k-1,也成立,
∴此数列的通项为an=32n-1-1.
an+2
an+1
-
an+1
an
=
32n+1-1
32n-1
-
32n-1
32n-1-1
不是常数,
故{an}不是比等差数列,故④正确;
(理)④∵数列{an}满足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*)

∴a1=
3
2
=
1•31
31-1

a2=
3×2×
3
2
3
2
+2-1
=
9
4
=
32
32-1

a3 =
3×3×
9
4
9
4
+3-1
=
81
26
=
33
33-1

由此猜想an=
n•3n
3n-1

用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=
3
2
=
1•31
31-1
,成立;
②假设n=k时,等式成立,即ak=
k•3k
3k-1

则ak+1=
3(k+1)•
k•3k
3k-1
2•
k•3k
3k-1
+k+1-1
=
(k+1)•3k+1
3k+1-1
,也成立.
故此数列的通项为an=
n•3n
3n-1

an+2
an+1
-
an+1
an
=
(n+2)•3n+2
3n+2-1
(n+1)•3n+1
3n+1-1
-
(n+1)•3n+1
3n+1-1
n•3n
3n-1
不是常数,
故{an}不是比等差数列,故④正确;
故答案为:①④.
点评:本题考查新定义,解题时应正确理解新定义,同时注意利用列举法判断命题为假,属于难题.
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