Question

给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x₁，x₂∈D（其中x1＞

x

2

），若不等式f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂）恒成立，则称函数f（x）相对于函数g（x）在区间D上是“渐先函数”．已知函数f（x）=ax²+ax相对于函数g（x）=2x-3在区间[a，a+2]上是渐先函数，则实数a的取值范围是

a≤

-5- 41

4

或a≥

-1+ 17

2

．

Answer 1

分析：法一：由题意可得，(ax12+ax1)-(ax22+ax2)＞（2x₁-3）-（2x₂-3）在[a，a+2]上恒成立（a≠0），结合x₁＞x₂，分类讨论a的正负，可得当a＞0时，a（2a+1）＜a（x₁+x₂+1）＜a（2a+5），当a＜0时，2a²+5a≥2，分别求解不等式即可求解
法二：由已知及导数的定义可知

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

g(x1)-g(x2)

x1-x2

在[a，a+2]上恒成立，即f‘（x）＞g’（x），分别对已知函数求导，即可求解

解答：解：法一：由题意可得，(ax12+ax1)-(ax22+ax2)＞（2x₁-3）-（2x₂-3）在[a，a+2]上恒成立（a≠0）
整理可得，a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+a（x₁-x₂）＞2（x₁-x₂）
∵x₁＞x₂
∴x₁-x₂＞0
∴a（x₁+x₂+1）＞2在[a，a+2]恒成立
∴2a＜x₁+x₂＜2（a+2）
当a＞0时，a（2a+1）＜a（x₁+x₂+1）＜a（2a+5）
∴2a²+a≥2，解可得a≥

17 -1

4

当a＜0时，2a2+a＞a(x1+x2+1)＞2a2+5a
∴2a²+5a≥2
解可得，a≤

-5- 41

4

综上可得，a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

故答案为：a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

法二：由题意可得f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂）在[a，a+2]上恒成立，且a≠0
∵x₁＞x₂
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

g(x1)-g(x2)

x1-x2

在[a，a+2]上恒成立
∴f‘（x）＞g’（x）
∴2ax+a＞2在[a，a+2]上恒成立
即a（2x+1）＞2在[a，a+2]上恒成立
①当a＞0时，可得2a²+a≥2，解可得a≥

17 -1

4

当a＜0时，2a²+5a≥2
解可得，a≤

-5- 41

4

综上可得，a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

故答案为：a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的恒成立问题的求解，本题思路灵活，解法巧妙，注意体会掌握