Question

设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f1(x)=x2，f2=

1

x

(x＜0)是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设a_n=f_n，n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m．记S_f=a₁+a₂+…+a_m对于满足条件的任意函数f（x），试求S_f的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函数，直接找f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂），推出其小于等于0即可； f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数，采用举反例的方法即可，x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

．
（Ⅱ）先根据定义求出a_n=f（n）的范围，再结合定义即可求出S_f的最大值即可．
 （Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．分g（m）＜g（n），g（m）＞g（n），利用反证法，可以证明g（x）不是R上的C函数．

解答：解：（Ⅰ）：f₁（x）=x²是C函数，证明如下：
对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函数．
f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(-2)-

1

2

f(-3)-

1

2

f(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]．
∵f（x）是R上的下凸函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时S_f=m²+m．
综上所述，S_f的最大值为m²+m．
（Ⅲ）假设g（x）是R上的C函数．
若存在m＜n且m，n∈[0，T]使得g（m）≠g（n）．
若g（m）＜g（n），记x1=m，x2=m+T，α=1-

n-m

T

，则0＜α＜1，且n=αx₁+（1-α）x₂
那么g（n）=g[αx₁+（1-α）x₂]≤αg（x₁）+（1-α）g（x₂）=g（m）
这与g（m）＜g（n）矛盾．
若g（m）＞g（n），
记x1=n，x2=n-T，α=1-

n-m

T

也可得到矛盾．
∴g（x）在[0，T]上是常数函数，又因为g（x）是周期为T的函数，所以g（x）在R上是常数函数，这与g（x）的最小正周期为T矛盾．
所以g（x）不是R上的C函数． （14分）

点评：本题主要是在新定义下考查恒成立问题．恒成立问题一般有两种情况，一是f（x）＞a恒成立，只须比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只须比f（x）的最大值大即可．