Question

已知函数y=f（x）定义R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x-1
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式
（2）画出y=|f（x）|在R上的图象，并由图象讨论m指出关于x的方程|f（x）|=m（m∈R）的根的个数（不需要说明理由）．

Answer 1

分析：（1）当x＜0时，-x＞0，结合当x＞0时，f（x）=x-1可求出当x＜0时f（x）的解析式
（2）由（1）中和已知中函数的解析式，结合定义在R上的奇函数图象必过原点，及函数图象的对折变换，可画出y=|f（x）|在R上的图象，结合图象可分析出关于x的方程|f（x）|=m（m∈R）的根的个数．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0
∵x＞0时，f（x）=x-1
∴f（-x）=-x-1
∵函数y=f（x）定义R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x+1
（2）∴f（x）=

x-1，x＞0 0，x=0 x+1，x＜0

，
其图象如图所示

结合函数的图象可知，
①当m≥1时，方程有2个根
②m=0时，有3个根
③0＜m＜1时，有4个根
④m＜0时，没有根

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数解析式的求法，利用图象法求方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．