Question

已知函数f（x）=2x-a（a∈N^*、x∈R），数列a_n满足a₁=-a，a_n+1-a_n=f（n）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）当a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项时，求a的值；
（3）若数列b_n满足对?n∈N^*，都有b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n+1成立，求数列{b_n}中的最大项．

Answer 1

解：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a=n（n-1-a）．
（2）a_n=n²-（1+a）n是关于n的二次函数，二次项系数为1（＞0），
所以“a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项”当且仅当，9≤a≤11，a=9、10、11．

（3）由b₁+2b₂+2²b₃++2^n-1b_n=a_n+1得2^n-1b_n=a_n+1-a_n=f（n）=2n-a，从而b_n=2^1-n（2n-a），解
即得
若a=2k（k∈N^*）是偶数，则最小项为b_k+1=b_k+2=2^1-k；
若a=2k-1（k∈N^*）是奇数，则最小项为b_k+1=3×2^-k．
分析：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a，由此能求出它的通项公式．
（2）a_n=n²-（1+a）n是关于n的二次函数，二次项系数为1（＞0），所以“a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项”当且仅当，9≤a≤11，由此能求出a的值．
（3）由b₁+2b₂+2²b₃++2^n-1b_n=a_n+1得2^n-1b_n=a_n+1-a_n=f（n）=2n-a，从而b_n=2^1-n（2n-a），由此分别讨论，能求出数列{b_n}中的最大项．
点评：（1）是用叠加与等差数列性质求通项；（2）是函数角度看数列，并用二次函数性质求解数列问题；（3）是从“和式”中分离数列，用比较法讨论数列的最大项．