Question

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设P的坐标为（x，y），由
得，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，…（3分）
化简得．
∴P点在双曲线上，其方程为．…（4分）
（2）设A，B点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由得：（3-k²）x²-2kx-13=0，…（6分）
∴，
∵AB与双曲线交于两点，
∴△＞0，即4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得．…（8分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，-2），则AD⊥BD，
∴k_AD•k_BD=-1，…（10分）
即，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0?（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0
∴
解得，∴，故存在k值为．…（13分）
分析：（1）设P的坐标为（x，y），由，得，由此能判断P点在双曲线上，并能求出其方程．
（2）设A，B点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由得：（3-k²）x²-2kx-13=0，然后利用韦达定理和根的判别式能推导出．再由以AB为直径的圆过D（0，-2），得，所以，由此能够导出存在k值为．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．