Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b为实数)
（1）若函数f（x）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令导函数等于0对应的方程判别式大于0；令导函数在x=1处的值为1，列出不等式组，求出a的范围．
（2）令f（x）的导函数小于等于0在区间[-1，2]上恒成立，结合二次函数的图象得到导函数在区间的两个端点值小于等于0即可，得到关于a，b的不等式组，求出a+b的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b为实数)
∴f′（x）=x²+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函数f（x）有极值
故方程x²+2ax-bx=0有两个不等实根
∴△=4a²+4b＞0即a²+b＞0②
由①②得a²+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴f′（x）=x²+2ax-bx≤0在区间[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

所以a+b的最小值为

3

2

点评：本题考查求曲线的切线问题常利用导数在切点处的值为切线的斜率；解决函数的单调性已知求参数的范围问题转化为导函数大于等于0或小于等于0恒成立．