Question

已知函数f(x)=(log2x)2-2log

1

2

x+1，g(x)=x2-ax+1
（1）求函数y=f（2cosx-1）的定义域；
（2）若存在a∈R，对任意x1∈[

1

8

，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数的真数要大于零，列出关于x的不等关系，求解三角不等式，即可求得函数y=f（2cosx-1）的定义域；
（2）先求出f（x）的值域，根据题意将问题转化为[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），进而根据对称轴与区间[-1，2]的位置关系进行讨论，从而得到答案．

解答：解：（1）由题意可得，2cosx-1＞0，解cosx＞

1

2

，解得2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈z，
∴函数y=f（2cosx-1）的定义域为{x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈z}；
（2）f（x）=（log₂x）²-2log

1

2

x+1=（1+log₂x）²，
∵x∈[

1

8

，2]，
∴-3≤log₂x≤1，
∴函数f（x）的值域为[0，4]，
∵存在a∈R，对任意x1∈[

1

8

，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立，
∴[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），
①当

a

2

≤-1时，则有

g(-1)=a+2≤0 g(2)=5-2a≥4

，解得a≤-2；
②当

a

2

≥2时，则有

g(-1)=a+2≥4 g(2)=5-2a≤0

，解得a≥4；
③当-1＜

a

2

＜2时，则

△＞0 g(-1)a+2≥4 g(2)=5-2a＜0

或

△＞0 g(-1)=a+2＜0 g(2)=5-2a≥4

，解得

5

2

＜a＜4．
综上所述，a≤-2或a＞

5

2

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，复合函数的单调性问题，以及利用数形结合的数学思想方法进行解题，涉及了利用换元法转化成二次函数求值域问题．属于中档题．