Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0
（1）若圆Q的圆心在直线y=x+3上，半径为

2

，且与圆C外切，求圆Q的方程；
（2）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆Q的圆心为Q（a，b），利用圆Q的圆心在直线y=x+3上，半径为

2

，且与圆C外切，可得b=a+3，|CQ|=R+r即可得出；
（2）分类讨论：当切线过原点时，当截距不为0时，两种情况．再利用切线的性质：圆心到切线的距离d=r即可得出．

解答：解：（1）由圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，可得（x+1）²+（y-2）²=2．，圆心为C（-1，2），半径r=

2

．
设圆Q的圆心为Q（a，b），
∵圆Q的圆心在直线y=x+3上，半径为

2

，且与圆C外切，
∴

b=a+3 |CQ|= (-1-a)2+(2-b)2 = 2 + 2

，解得

a=1 b=4

或

a=-3 b=0

．
因此圆Q的方程为：（x-1）²+（y-4）²=2或（x+3）²+y²=2．
（2）①当切线过原点时，设切线的方程为y=kx，则

|-k-2|

1+k2

=

2

，化为k²-4k-2=0，解得k=2±

6

，此时切线方程为y=(2±

6

)x．
②当截距不为0时，设切线的方程为x+y+m=0．
则

|-1+2+m|

2

=

2

，化为|1+m|=2，解得m=1或-3．
此时切线方程为x+y-3=0或x+y+1=0．
综上可得：满足条件的切线方程为：
y=(2±

6

)x或x+y-3=0或x+y+1=0．

点评：本题考查了圆的方程、切线的性质、点到直线的距离公式、分类讨论、截距式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．