Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，且nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N₊），则过A（n，a_n）和B（n+2，a_n+2）的直线的一个方向向量的坐标可以是（　　）

• A、（2，-4）
• B、（-1，-1）
• C、（-

  1

  4

  ，-

  1

  2

  ）
• D、（1，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得{

Sn

n

}是首项为2，公差为1的等差数列，从而Sn=n2+n，进而a_n=2n．由此得

AB

=（n+2-n，a_n+2-a_n）=（2，4），从而能求出结果．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
a₁=2，且nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N₊），
∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，又

S1

1

=2，
∴{

Sn

n

}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴

Sn

n

=2+（n-1）=n+1，
∴Sn=n2+n，
∴a₁=S₁=1+1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-（n-1）²-（n-1）=2n，
n=1时，上式成立，故a_n=2n．
∵A（n，a_n）和B（n+2，a_n+2），
∴

AB

=（n+2-n，a_n+2-a_n）=（2，4），
∴过A（n，a_n）和B（n+2，a_n+2）的直线的一个方向向量的坐标可以是（-

1

4

，-

1

2

）．
故选：C．

点评：本题考查方向向量的坐标的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．