Question

如图，点A（1，

3

）在椭圆

x2

2

+

y2

n

=1上，过点A引两直线与椭圆分别交于B、C两点，若直线AB、AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求直线BC的斜率；
（Ⅱ）当点B、C在什么位置时，△ABC的面积最大？面积最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）点A（1，

3

）在椭圆

x2

2

+

y2

n

=1上，代入椭圆方程得n得出椭圆方程，设直线l_AB：y=kx+

3

-k（k≠0）与椭圆方程 3x²+y²-6=0联立得到（3+k²）x²+2（

3

-k）kx+k²-2

3

k-3=0由韦达定理知及直线AB、AC与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，得到B，C的坐标，最后利用斜率公式计算即得．
（II）根据（I）得直线BC的斜率为：

3

．设直线BC的方程为：y=

3

x+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得三角形ABC的面积，利用基本不等式求最大值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）∵点A（1，

3

）在椭圆

x2

2

+

y2

n

=1上，
代入椭圆方程得

1

2

+

3

n

=1⇒n =6，
∴椭圆方程为

x2

2

+

y2

6

=1．即3x²+y²-6=0，
设直线l_AB：y=kx+

3

-k（k≠0）
与椭圆方程 3x²+y²-6=0联立得到（3+k²）x²+2（

3

-k）kx+k²-2

3

k-3=0
设点B（x₁，y₁），而C（1，

3

），由韦达定理知 1•x1=

k 2-2 3 k-3

k2+3

⇒x1=

k 2-2 3 k-3

k2+3

代回l_AB：y=kx+

3

-k得到 y1=

- 3 k 2-6k+3 3

k2+3

∵直线AB、AC与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形
∴直线AB、AC的斜率互为相反数，
故设点C（x₂，y₂），同理可知x1=

k2+2 3 k-3

k2+3

，y1=

- 3 k2+6k+3 3

k2+3

所以 直线BC的斜率k=

y1-y2

x1-x2

代入上述数据得：k=

3

直线BC的斜率为：

3

．
（II）∵根据（I）得直线BC的斜率为：

3

．
∴设直线BC的方程为：y=

3

x+m，
由

x2 2 + y2 6 =1 y= 3 x+m

得6x²+2

3

mx+m²-6=0，
根据弦长公式得|BC|=

1+k2

△

|a|

=

1+3 12(12-m2)

6

=

2 12-m2

3

，
又点A到直线BC的距离d=

|m|

1+3

=

|m|

2

，
∴△ABC的面积S=

1

2

|BC|d=

(12-m2)m2

2 3

≤

12-m2+m2

2 3

=

3

，
当12-m²=m²时取等号，即m=±

6

．
∴当点B、C在直线y=

3

x±

6

上时，△ABC的面积最大，面积最大值是

3

．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆方程的应用、直线的方程、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．