Question

【题目】如图，在三棱锥A-BCD中，AB=a，AC=AD=b，BC=CD=DB=c（a＞0，b＞0，c＞0）该三棱锥的截面EFGH平行于AB、CD，分别交AD、AC、BC、BD于E、F、G、H．

（1）证明：AB⊥CD；

（2）求截面四边形EFGH面积的最大值，并说明面积取最大值时截面的位置．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）截面为中截面时，截面四边形EFGH面积的最大为，

【解析】

（1）要证AB⊥CD，需证CD⊥平面ABI，需证AI⊥CD，BI⊥CD，由已知可证；

（2）先证EFGH是矩形，再表示出SEFGH＝k（1﹣k）ac＝﹣ac（k）2，可求最值．

（1）取CD中点I，连结AI、BI，

∵AC＝AD，∴AI⊥CD，

∵BC＝BD，∴BI⊥CD，

又AI∩BI＝I，∴CD⊥平面ABI，

又ABABI，∴AB⊥CD；

（2）∵AB∥平面EFGH，AB平面ABC，

平面EFGH∩平面ABC＝FG，∴AB∥FG，

同理可证AB∥EH，∴FG∥EH，

同理可证EF∥HG，

∴EFGH是平行四边形，

由（1）AB⊥CD知EF⊥EH，

∴EFGH是矩形，

设GF＝ka，则GH＝（1﹣k）c，

SEFGH＝k（1﹣k）ac＝﹣ac（k）2，

当k时，截面四边形EFGH面积的最大为，

此时，截面为中截面．