【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若对于任意,都有,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)单调递增区间是; 的单调递减区间是;(Ⅲ)答案见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由f(1)=0,f′(1)=1;从而写出切线方程即可;
(Ⅱ)根据导数,求出导数等于0的根,分析导数函数值在根的左右的正负变化即可得出的单调区间;
(Ⅲ)当时,“”等价于“”.令, ,求导研究单调性求出在区间上的最大值为,即可求出实数的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)因为函数,
所以,
.
又因为,
所以曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ)函数定义域为,
由(Ⅰ)可知, .
令解得.
与在区间上的情况如下:
x | |||
↘ | 极小值 | ↗ |
所以, 的单调递增区间是;
的单调递减区间是.
(Ⅲ)当时,“”等价于“”.
令, ,
, .
当时, ,所以在区间单调递减.
当时, ,所以在区间单调递增.
而,
所以在区间上的最大值为.
所以当时,对于任意,都有.
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【题目】对函数f(x)=xsinx,现有下列命题:①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心;④函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.其中是真命题的是________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】为了迎接第二届国际互联网大会,组委会对报名参加服务的名志愿者进行互联网知识测试,从这名志愿者中采用随机抽样的方法抽取人,所得成绩如下: , , , , , , , , , , , , , , .
(1)作出抽取的人的测试成绩的茎叶图,以频率为概率,估计这志愿者中成绩不低于分的人数;
(2)从抽取的成绩不低于分的志愿者中,随机选名参加某项活动,求选取的人恰有一人成绩不低于分的概率.
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【题目】已知线段AB的端点B的坐标为(3,0),端点A在圆上运动;
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)过点C(1,1)的直线m与M的轨迹交于G、H两点,当△GOH(O为坐标原点)的面积最大时,求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.
(3)若点C(1,1),且P在M轨迹上运动,求的取值范围.
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【题目】为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项:①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示:
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】某图书公司有一款图书的历史收益率(收益率=利润÷每本收入)的频率分布直方图如图所示:
(1)试估计平均收益率;(用区间中点值代替每一组的数值)
(2)根据经验,若每本图书的收入在20元的基础上每增加元,对应的销量(万份)与(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据:
据此计算出的回归方程为
①求参数的估计值;
②若把回归方程当作与的线性关系, 取何值时,此产品获得最大收益,并求出该最大收益.
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【题目】如图,在三棱锥A-BCD中,AB=a,AC=AD=b,BC=CD=DB=c(a>0,b>0,c>0)该三棱锥的截面EFGH平行于AB、CD,分别交AD、AC、BC、BD于E、F、G、H.
(1)证明:AB⊥CD;
(2)求截面四边形EFGH面积的最大值,并说明面积取最大值时截面的位置.
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