Question

已知sinα+cosα=

1

2

，求下列各式的值：
（1）sin³α+cos³α；
（2）sin⁴α+cos⁴α．

Answer 1

分析：由sinα+cosα=

1

2

两边同时平方可得，1+2sinαcosα=

1

2

，从而可得sinαcosα=-

1

4

（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）结合sinαcosα=-

1

4

及sin²α+cos²α=1代入可求
（2）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²结合sinαcosα=-

1

4

及sin²α+cos²α=1代入可求

解答：解：∵sinα+cosα=

1

2

两边同时平方可得，1+2sinαcosα=

1

2

∴sinαcosα=-

1

4

（1）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=

1

2

× (1+

1

4

)=

5 2

8

（2））sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2（sinαcosα）²
=1-2×

1

16

=

7

8

点评：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题中要注意 一些常见式子的变形形式，属于公式的基本应用．