Question

【题目】已知函数.

（1）证明：函数在上存在唯一的零点；

（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明在上存在唯一的零点即可；

（2）根据导函数零点，判断出的单调性，从而可确定，利用以及的单调性，可确定出之间的关系，从而的值可求.

（1）证明：∵，∴.

∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴函数在上单调递增.

又，令，，

则在上单调递减，，故.

令，则

所以函数在上存在唯一的零点.

（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.

函数在上单调递增.

∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴.

由（*）式得.

∴，显然是方程的解.

又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，

把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为.