【题目】已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R).
(1)若曲线g(x)=f(x)+x上点(1,g(1))处的切线过点(0,2),求函数g(x)的单调减区间;
(2)若函数y=f(x)在区间(0, )内无零点,求实数a的最小值.
【答案】(1)函数在(0,2)上递减(2)函数在上无零点,a的最小值为2-4ln2
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,计算g′(1),求出a的值,从而求出g(x)的递减区间即可;
(2)问题转化为对x∈(0, ),a>2﹣恒成立,令l(x)=2﹣,x∈(0, ),根据函数的单调性求出a的最小值即可.
试题解析:
(1)∵g(x)=(3﹣a)x﹣(2﹣a)﹣2lnx,
∴g′(x)=3﹣a﹣,∴g′(1)=1﹣a,
又g(1)=1,∴1﹣a==﹣1,解得:a=2,
由g′(x)=3﹣2﹣=<0,解得:0<x<2,
∴函数g(x)在(0,2)递减;
(2)∵f(x)<0在(0, )恒成立不可能,
故要使f(x)在(0, )无零点,只需任意x∈(0, ),f(x)>0恒成立,
即对x∈(0, ),a>2﹣恒成立,
令h(x)=2﹣,x∈(0, ),
则h′(x)=,
再令m(x)=﹣2,x∈(0, ),
则m′(x)=<0,
故m(x)在(0, )递减,于是m(x)>m()=2﹣2ln2>0,
从而h′(x)>0,于是h(x)在(0, )递增,
∴h(x)<h()=2﹣4ln2,
故要使a>2﹣恒成立,只要a∈[2﹣4ln2,+∞),
综上,若函数y=f(x)在(0, )上无零点,则a的最小值是2﹣4ln2.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线与抛物线交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.
(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x﹣2)2+y2=1的两条切线,切点为M,N,|MN|=
(1)求抛物线E的方程
(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且 = (其中O为坐标原点)
①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点,求四边形AGBD面积的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
已知直线l:ρsin(θ+)=m,曲线C:
(1)当m=3时,判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)若曲线C上存在到直线l的距离等于的点,求实数m的范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 X 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)若直线 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期为π,且它的图象过点( , ).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com