Question

11．某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数学、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）．

Answer 1

分析 根据条件关系，建立集合之间的关系进行求解即可．

解答 解：设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}，
则card（A）=21，card（B）=19，card（C）=20，card（A∩B）=9，card（B∩C）=7，
card（C∩A）=8，
∵card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（C∩A）+card（A∩B∩C），
∴card（A∪B∪C）-card（A∩B∩C）=21+19+20-9-8=36，
这里card（A∪B∪C）是数学，物理和化学至少有一门是优秀的人数，
card（A∩B∩C）是三科全部优秀的人数，
则估计card（A∪B∪C）的范围问题与估计card（A∩B∩C）的范围有关．
注意到card（A∩B∩C）≤min{card（A∩B），card（B∩C），card（C∩A）}=7，
则0≤card（A∩B∩C）≤7，
因而可得36≤card（A∪B∪C）≤43，
∵card（A∪B∪C）+card（$\overline{A∪B∪C}$）=card（U），
其中card（$\overline{A∪B∪C}$）=5，
∴41≤card（U）≤48，表示全班人数在41～48人之间，仅数学优秀的人数是card（A∩$\overline{B∪C}$），
∴card（A∩$\overline{B∪C}$）=card（A∪B∪C）-card（B∪C）=card（A∪B∪C）-card（B）-card（C）+card（B∩C）=card（A∪B∪C）-32，
则4≤card（A∩$\overline{B∪C}$）≤11，同理3≤card（B∩$\overline{A∪C}$）≤10，5≤card（C∩$\overline{B∪C}$）≤12，
故仅数学单科优秀的学生在4～11之间，仅物理单科优秀的学生数在3～10之间，仅化学单科优秀的学生在5～12人之间．

点评 本题主要考查集合关系的应用，根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出已知数据，并把问题用集合中的元素数目符号准确的提出来，在此基础上引用有关运算公式进行计算，是解决本题的关键．