Question

3．设函数f（x）=|lgx|，且f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），其中a，b∈R，0＜a＜b．求证：
（1）a＜1＜b；
（2）2＜4b-b²＜3．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=|lgx|，f（a）=f（b）可知|lga|=|lgb|．再由0＜a＜b，y=lgx是增函数，可知-lga=lgb，由此可证a＜1＜b．
（2）由f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$）可知$\frac{1}{a}$=b=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，由此可证2＜4b-b²＜3．

解答 （1）证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，
∴-lga=lgb，
故a＜1＜b．
（2）证明：∵-lga=lgb，
∴lg$\frac{1}{a}$=lgb，
∴ab=1，
∵0＜a＜b，
∴$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$=1．
∵f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），
∴lg$\frac{1}{a}$=lgb=lg（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴$\frac{1}{a}$=b=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$．
∴4b=（$\frac{1}{b}$+b）²=$\frac{1}{{b}^{2}}$+b²+2，
∴4b-b²=$\frac{1}{{b}^{2}}$+2，
∵b＞1，
∴2＜4b-b²＜3．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数图象的对折变换，对数的运算性质，难度中档．