Question

设曲线f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1（其中a＞0）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）．证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）

Answer 1

分析：根据f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′（x）=x2-ax，由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反证法能够证明f'（x₁）≠f'（x₂）．

解答：解：f（x）=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f'（x）=x²-ax．
由于点（t，f（t））处的切线方程为
y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0，
由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
即x₁，x₂满足方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0
下面用反证法证明结论：
假设f'（x₁）=f'（x₂），
则下列等式成立：

2 3 x 3 1 - a 2 x 2 1 +1=0 ，(1) 2 3 x 3 2 - a 2 x 2 2 +1=0，(2) x 2 1 -ax1= x 2 2 -a x   2 ，(3)

由（3）得x₁+x₂=a
由（1）-（2）得x12+x1x2+x22=

3a2

4

…(4)
又

3a2

4

=x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=(x1-

a

2

)2+

3a2

4

≥

3a2

4

∴x1=

a

2

，
此时x2=

a

2

，与x₁≠x₂矛盾，
所以f（x₁）≠f（x₂）．

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想．