Question

已知函数f(x)＝3x－.

(1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)判断x>0时，f(x)的单调性；

(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．

 

Answer 1

（1）log3(1＋)

（2）f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增

（3）[－4，＋∞)

【解析】【解析】
(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，

∴f(x)＝2无解．

当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2.

∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±.

∵3x>0，∴3x＝1＋.

∴x＝log3(1＋)．

(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，

y＝在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．

(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.

∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为

3t＋m≥0，

即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.

令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．