Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
（Ⅰ） 求证：PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ） 求证：BF∥平面PAD；
（Ⅲ） 若PA=AB=AD=1，求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，知四棱锥F-ABCD的高为

1

2

PA，代入椎体的体积公式进而能够求出四棱锥F-ABCD的体积．

解答：解：（Ⅰ） 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PA⊥AD，PA?平面PAD，
所以PA垂直底面ABCD．                                
（Ⅱ）因为AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，
所以四边形ABED为平行四边形，有BE∥AD．
又因为AD?平面PAD，BE不在平面PAD内，
所以BE∥平面PAD．
（Ⅲ）因为F是PC的中点．PA⊥平面ABCD，
所以四棱锥F-ABCD的高为

1

2

PA，
所以VF-ABCD=

1

3

SABCD•

1

2

PA=

1

3

×

1

2

(1+2)•1×

1

2

=

1

4

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，椎体体积公式的应用，属于中档题．