Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆C：的左、右顶点为A，B，右焦点为F.过点A且斜率为k（）的直线交椭圆C于另一点P.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若，求的值；

（3）设直线l:，延长AP交直线l于点Q，线段BO的中点为E，求证：点B关于直线EF的对称点在直线PF上。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）详见解析

【解析】

（1）根据椭圆的方程，结合椭圆离心率的求法，即可求出结果；

（2）先由题意，得到直线AP的方程为代入椭圆方程，求出点P的坐标，表示出与，进而可得出结果；

（3）由直线AP的方程与直线l的方程联立，求出，表示出直线EF的斜率，再由结合韦达定理，以及题中条件，表示出直线PF的斜率，再由题意，即可证明结论成立.

（1）因为椭圆C：，

所以，，.

又，所以，，

所以椭圆C的离心率.

（2）因为直线AP的斜率为，且过椭圆C的左顶点，

所以直线AP的方程为.

代入椭圆C的方程，

得，即，

解得或（舍去），

将代入，得，

所以点P的坐标为.

又椭圆C的右顶点B（2t,0），

所以，，

所以.

（3）直线AP的方程为，

将代入，得，所以.

因为E为线段BQ的中点，所以，

因为焦点F的坐标为（t,0），

所以直线EF的斜率.

联立消y得，.

由于，，

所以，

所以点P的坐标为，

所以直线PF的斜率.

而直线EF的斜率为2k，

若设，则有，即，

所以点B关于直线EF的对称点在直线PF上.