Question

已知函数f（x）=2ax³-3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f^′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定f′（x）＞0，即可证得函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），求导函数，令g′（x）=0，确定在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值，根据g（x）在x=0处取得最大值，即可确定求a的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax-1）．
因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数．                  …（6分）
（Ⅱ）解：由题意，g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax²+（2a-1）x-1]．…（8分）
令g′（x）=0，即ax²+（2a-1）x-1=0．①
由于△=4a²+1＞0，可设方程①的两个根为x₁，x₂，
由①得x₁x₂=-

1

a

，
由于a＞0，所以x₁x₂＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x-x₁）（x-x₂）．
当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，
所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；
当x₂≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），
综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．      …（10分）
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1），
即0≥8a-9，解得a≤

9

8

，
又因为a＞0，所以a∈（0，

9

8

]．                                      …（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性与最值．