Question

△ABC的面积为1，

AB

=

a

，

AC

=

b

，P为△ABC内一点，且

BP

=

1

3

b

-

5

6

a

，则△BCP的面积为

 

．

Answer 1

分析：在△ABC中，作出向量

BP

=

1

3

b

-

5

6

a

，由向量的几何意义，三角形的面积公式，且△ABC的面积为1，可以求出△BCP的面积．

解答：解：如图，在△ABC中，作出

DE

=

1

3

b

-

5

6

a

，
平移

DE

=

BP

，其中

DB

= 

1

6

a

，
△ABC的面积为：S=

1

2

|

AB

|•

|AC

|sinA=

1

2

|

a

|•|

b

|sinA=1，
而△ADE，△CEP，平行四边形BDEP的面积和为：

1

2

|

AD|

•|

AE

|sinA+

1

2

|

EP

|•|

EC

| sinCEP+|

DB

|•|

AE

|sinA=

1

2

|

5

6

a

|•|

1

3

b

|sinA+

1

2

|

1

6

a

|• |

2

3

b

|sinA+|

1

6

a

|• |

1

3

b

|sinA=

1

4

|

a

|• |

b

|sinA=

1

2

，
所以△BCP的面积为：1-

1

2

=

1

2

．
本题也可以通过左移点P：

1

6

a

+

1

3

a

个单位，下移

1

3

b

sinA个单位，到点A．知△BCP边BC上的高h₂是△ABC边BC上的高h₁的

1

2

，即△BCP的面积是△ABC的

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题通过作图得出向量的关系，从而求出三角形的面积．