Question

【题目】设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是d个，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为（ ）
A.7
B.11
C.14
D.28

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣ ）=asin（bx+c），∴|a|=2，
若a=2，则方程等价于sin（3x﹣ ）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时c= ；若b=﹣3，此时c= ；
若a=﹣2，则方程等价于sin（3x﹣ ）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此时c= ；若b=3，此时c= ．
综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3， ），（2，﹣3， ），（﹣2，﹣3， ），（﹣2，3， ）共4组．
而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx= ，∴x= 或x= 或x= ．
又∵x∈[0，3π]，∴x= ．
∴满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有4×7=28．
故选：D．