Question

已知函数f（x）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=b+c=2，求实数a的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）-（sin2xcos-cos2xsin）
=1+sin2x+=1+sin（2x+）．
∴函数f（x）的最大值为2．
要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）
∴x=kπ+（k∈Z）．
故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．
（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，
∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=
在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）²-3bc．
由b+c=2，知，即a²≥1．
∴当b=c=1时，实数a取最小值1．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．
点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，综合性强．