Question

已知函数f（x）=3x²-1在区间（0，1）上有唯一零点x₀，如果用“二分法”求这个零点（精确度ε=0.05）的近似值，那么将区间（0，1）等分的次数至少是

 

，此时并规定只要零点的存在区间（a，b）满足|a-b|＜ε时，用

a+b

2

作为零点的近似值，那么求得x₀=

 

．

Answer 1

考点：二分法求方程的近似解

专题：函数的性质及应用

分析：根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足

b-a

2n

＜精确度确定．

解答： 解：开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，
区间长度变为

1

2n

，故有 

1

2n

≤0.05，
即2ⁿ＞20，因为2⁵=32，所以n=5．
故计算5次就可满足要求，
所以将区间（0，1）等分的次数至多是5次．
因为f（

1

2

）＜0，所以第一次得到区间为（

1

2

，1）；
因为f（

3

4

）＞0，所以第二次得到区间为（

1

2

，

3

4

）；
因为f（

5

8

）＞0，所以第三次得到区间为（

1

2

，

5

8

）；
因为f（

9

16

）＜0，所以第四次得到区间为（

9

16

，

5

8

）；
因为f（

19

32

）＞0，所以第五次得到区间为（

9

16

，

19

32

）；
所以函数零点为

9 16 + 19 32

2

=

37

64

；
故答案为：5；

37

64

点评：本题考查了二分法求方程的根；在用二分法求方程的近似解时，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．设须计算n次，则n满足

b-a

2n

＜精确度即可．