Question

12．在△ABC中，已知a=6，且满足（2b+c）cosA+acosC=0．
（1）求A及△ABC外接圆半径R；
（2）设B=θ，求△ABC的周长L最大值，并指明取到最大值时θ的取值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简可得2sinBcosA=sinB，求得cosA=-$\frac{1}{2}$，进而可求得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得R的值．
（2）由正弦定理及三角函数恒等变换的应用可求L=6+4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），由0＜θ＜$\frac{π}{3}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，当$θ=\frac{π}{6}$时取等号，从而可求△ABC的周长L最大值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理得（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC=0． …（2分）
所以2sinBcosA+sinB=0，sinB≠0，
所以cosA=-$\frac{1}{2}$，…（4分）
因为0°＜A＜180°，所以A=$\frac{2π}{3}$．                     …（5分）
所以，由正弦定理可得：R=$\frac{a}{2sinA}$=$\frac{6}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$…（6分）
（不给A的范围扣1分）
（2）因为由正弦定理得 $\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=4\sqrt{3}$，
所以由（1）及已知可得：L=a+b+c=6+b+c=6+4$\sqrt{3}$（sinθ+sin（$\frac{π}{3}$-θ））=6+4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
因为：0＜θ＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$＜θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
所以：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，当$θ=\frac{π}{6}$时取等号，
所以L_max=6+4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=6+4$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质，属于中档题．