Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin2x，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（2cos²$\frac{θ}{2}$-1，sinθ），且函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在x=$\frac{2π}{3}$时取得最小值（其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
（1）求θ的值；
（2）设α∈[$\frac{π}{2}$，π]，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{7π}{12}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质与和差公式可得函数f（x）=sin（2x+θ），根据函数f（x）在x=$\frac{2π}{3}$时取得最小值（其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$），可得$sin（\frac{4π}{3}+θ）$=-1，解出即可．
（2）f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$．由于f（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{7π}{12}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得cos2α=-$\frac{1}{3}$=2cos²α-1，sinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．由于α∈[$\frac{π}{2}$，π]，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得cosα，sinα，cosβ．再利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin2xcosθ+cos2xsinθ=sin（2x+θ），
∵函数f（x）在x=$\frac{2π}{3}$时取得最小值（其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴$sin（\frac{4π}{3}+θ）$=-1，
解得$\frac{4π}{3}+θ=\frac{3π}{2}$，
解得θ=$\frac{π}{6}$．
（2）f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
f（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{7π}{12}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos2α=-$\frac{1}{3}$=2cos²α-1，sinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；cosβ=$\frac{1}{3}$．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=$-\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量数量积的运算性质、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．