Question

若f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

为奇函数．
（1）判断它的单调性；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是奇函数，可得f（0）=0，从而可求a及函数f（x），要证明函数f（x）单调性，只要任设x₁＜x₂，然后比较f（x₁）与f（x₂）的大小即可
（2）利用反解法，由y=

2x-1

2x+1

，可得2x=

1+y

1-y

．结合2^x＞0可求函数的值域

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，且在x=0处有定义，
∴f（0）=0，∴a=1，
∴f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂则2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在R上递增．
（2）令y=

2x-1

2x+1

，则2x=

1+y

1-y

．由于2^x＞0，所以

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1
故f（x）的值域是（-1，1）．

点评：本题主要考查了利用奇函数的性质：奇函数得定义域内有0，则f（0）=0在求解函数解析式中的应用，应用该性质可以简化运算，反解法求解函数的值域常见在函数中含有2^x，sinx，cosx等自身有范围限制得函数中．