【题目】若函数对其定义域内的任意
,
,当
时总有
,则称
为紧密函数,例如函数
是紧密函数,下列命题:
紧密函数必是单调函数;
函数
在
时是紧密函数;
函数
是紧密函数;
若函数
为定义域内的紧密函数,
,则
;
若函数
是紧密函数且在定义域内存在导数,则其导函数
在定义域内的值一定不为零.
其中的真命题是______.
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【题目】为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型:以
表示第
个时刻进入园区的人数;以
表示第
个时刻离开园区的人数.设定以
分钟为一个计算单位,上午
点
分作为第
个计算人数单位,即
;
点
分作为第
个计算单位,即
;依次类推,把一天内从上午
点到晚上
点
分分成
个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天点至
点这一小时内,进入园区的游客人数
、离开园区的游客人数
各为多少?
(2)假设当日园区游客总人数达到或超过万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天
点(即
)时,园区总人数会达到最高,请问当日是否要采取限流措施?说明理由.
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【题目】已知函数,
,其中
,设
.
(1)如果为奇函数,求实数
、
满足的条件;
(2)在(1)的条件下,若函数在区间
上为增函数,求
的取值范围;
(3)若对任意的恒有
成立.证明:当
时,
成立.
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【题目】若A1,A2,…,Am为集合A={1,2,…,n}(n≥2且n∈N*)的子集,且满足两个条件:
①A1∪A2∪…∪Am=A;
②对任意的{x,y}A,至少存在一个i∈{1,2,3,…,m},使Ai∩{x,y}={x}或{y}.则称集合组A1,A2,…,Am具有性质P.
如图,作n行m列数表,定义数表中的第k行第l列的数为akl.
a11 | a12 | … | a1m |
a21 | a22 | … | a2m |
… | … | … | … |
an1 | an2 | … | anm |
(1)当n=4时,判断下列两个集合组是否具有性质P,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由;
集合组1:A1={1,3},A2={2,3},A3={4};
集合组2:A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}.
(2)当n=7时,若集合组A1,A2,A3具有性质P,请先画出所对应的7行3列的一个数表,再依此表格分别写出集合A1,A2,A3;
(3)当n=100时,集合组A1,A2,…,At是具有性质P且所含集合个数最小的集合组,求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值.(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的个数)
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【题目】已知函数(其中
)的最小周期为
.
(1)求的值及
的单调递增区间;
(2)将函数的图象向右平移
个单位,再将图象上各点的横坐标缩短为原来的
(纵坐标不变)得到函数
的图象,若关于x的方程
在区间
上有且只有一个解,求实数m的取值范围.
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【题目】对于自然数数组,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果
的极差
,可实施如下操作
:若
中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若
中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为
,其级差为
.若
,则继续对
实施操作
,…,实施
次操作后的结果记为
,其极差记为
.例如:
,
.
(1)若,求
和
的值;
(2)已知的极差为
且
,若
时,恒有
,求
的所有可能取值;
(3)若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在
满足
.
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【题目】已知函数,实数
且
.
(1)设,判断函数
在
上的单调性,并说明理由;
(2)设且
时,
的定义域和值域都是
,求
的最大值;
(3)若不等式对
恒成立,求
的范围.
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【题目】已知数列{an}中,相邻两项an,an+1是关于x的方程:x2+3nx+bn0(n∈N*)的两实根,且a1=1.
(1)若Sn为数列{an}的前n项和,求S100 ;
(2)求数列{an}和{bn}的通项公式.
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