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(本小题满分12分)

在四棱锥PABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCDEPD的中点,PA=2AB=2.

(Ⅰ)求四棱锥PABCD的体积V

(Ⅱ)若FPC的中点,求证PC⊥平面AEF

 

【答案】

(Ⅰ)V.(Ⅱ)见解析。

【解析】(I)根据棱锥的体积公式关键是求出底面积和高,在求底面积时,可以根据来求.

(II)易证PA=AC,从而确定AF垂直PC,所以解决此问题的关键是证PC垂直EF.因为EF//CD,可以证:PC垂直CD即可.

(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,

BAC=60°,∴BCAC=2.

在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,

CD=2AD=4.

SABCD

.……………… 3分

V.     ……………… 5分

(Ⅱ)∵PACAFPC的中点,

AFPC.            ……………… 7分

PA⊥平面ABCD,∴PACD

ACCDPAACA

CD⊥平面PAC.∴CDPC

EPD中点,FPC中点,

EFCD.则EFPC.       ……… 11分

AFEFF,∴PC⊥平面AEF.…… 12分

 

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3
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ON
|=6,
ON
=
5
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OT
=
M1M
+
N1N
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=3
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