Question

【题目】已知，， （x≥0）成等差数列．又数列{an}（an＞0）中，a1＝3，此数列的前n项的和Sn（n∈N*）对所有大于1的正整数n都有Sn＝f（Sn－1）．

（1）求数列{an}的第n＋1项；

（2）若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

【答案】（1）an＋1＝6n＋3 （2）

【解析】

试题分析：（1）由，， （x≥0）成等差数列，利用等差数列定义得到f（x）的函数解析式，再利用Sn＝f（Sn－1）得到数列an的关于前n项和式子，在有前n项和求出数列的第n+1项；（2）由于是的等比中项，所以可以利用等比中项的定义得到数列bn的通项公式，在利用裂项相消法可以求{bn}的前n项和Tn．

试题解析：（1）∵，， （x≥0）成等差数列，

∴×2＝＋ ．1分

∴f（x）＝（＋）2．

∵Sn＝f（Sn－1）（n≥2），

∴Sn＝f（Sn－1）＝（＋）2． 3分

∴＝＋，－＝．

∴{}是以为公差的等差数列． 5分

∵a1＝3，所以S1＝a1＝3．

∴＝＋（n－1）＝＋－＝n． 7分

∴Sn＝3n2（n∈N*）．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3（n＋1）2－3n2＝6n＋3． 8分

（2）∵数列是，的等比中项，

∴（）2＝·， 10分

∴bn＝＝=．

∴Tn＝b1＋b2＋＋bn＝12分

＝＝． 14分