Question

设F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，若该椭圆上一点P满足|PF₂|=|F₁F₂|，且以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF₁有公共点，则该椭圆离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：分别过F₂、点O作PF₁的垂线，垂足分别为D、E，利用椭圆的定义与勾股定理，并根据OE是△DF₁F₂的中位线，算出|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．根据以原点O为圆心、b为半径的圆与直线PF₁有公共点，可得|OE|≤b，由此建立关于a、c的不等式，化简整理得到关于离心率e的一元二次不等式，解之可得椭圆离心率e的范围．

解答：解：∵点P在椭圆C上，∴根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∴|PF₁|=2a-2c
过点F₂作F₂D⊥PF₁于D点，过点O作OE⊥PF₁于E点，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是等腰三角形，可得D是PF₁的中点，DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|DF₂|=

|F1F2|2-|DF1|2

=

4c2-(a-c)2

=

3c2+2ac-a2

．
∵△DF₁F₂中，OE是中位线，∴|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．
又∵以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF₁有公共点，
∴原点O到直线PF₁的距离小于b，即|OE|≤b，得

1

2

3c2+2ac-a2

≤b，
化简得3c²+2ac-a²≤4（a²-c²），即7c²+2ac-5a²≤0，两边都除以a²得7e²+2e-5≤0，解之得-1≤e≤

5

7

．
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得0＜e≤

5

7

．
又∵等腰△PF₁F₂中，|PF₂|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=

c

a

＞

1

3

．
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是(

1

3

，

5

7

]．
故答案为：(

1

3

，

5

7

]

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆离心率的取值范围．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．