Question

（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
（A）在极坐标系中，过点（2

2

，

π

4

）作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程为

ρcosθ=2

（B）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有实数解，则a的取值范围为

[-3，-1]

．

Answer 1

分析：（A）由圆ρ=4sinθ，知ρ²=4ρsinθ，故x²+y²-4y=0，由极坐标系中，点（2

2

，

π

4

），知x=2

2

•cos

π

4

=2，y=2

2

sin

π

4

=2，由A（2，2）在x²+y²-4y=0上，知过点A（2，2）的圆x²+y²-4y=0的切线极坐标方程．
（B）由已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有解，分离出参数a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，转化为求函数f（x）=|2^x-1|-|2^x+1|的值域．

解答：解：（A）∵圆ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴x²+y²-4y=0，
∵极坐标系中，点（2

2

，

π

4

），
∴x=2

2

•cos

π

4

=2，y=2

2

sin

π

4

=2，
∵A（2，2）在x²+y²-4y=0上，
x²+y²-4y=0的圆心B（0，2），
∴kAB=

2-2

0-2

=0，
∴过点A（2，2）的圆x²+y²-4y=0的切线方程为：x=2．
即ρcosθ=2．
故答案为：ρcosθ=2．
（B）解：分离出参数a+1，
∵a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，
∵函数f（x）=|2^x-1|-|2^x+1|值域为：[-2，0）
∴a+1∈[-2，0）
∴a的取值范围为：-3≤a≤-1．
故答案为：[-3，-1）．

点评：（A）本题考查简单曲线的极坐标方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
（B）通过构造函数，从而借助于函数的图象研究了函数值域的问题，将复杂问题简单化．整个解题过程充满对函数、方程和不等式的研究和转化，也充满了函数与方程思想的应用．